高中数学——集合的性质
lipiwang 2024-12-02 22:02 8 浏览 0 评论
一、集合的性质
（一）并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集（union set）.
记作A∪B（读作：“A并B”）.
表示为A∪B={x|xA,或xB},也可以用Venn图表示.
A∪B就是A、B的所有元素合并后得到的集合.
（二）并集性质
1.A(A∪B), B(A∪B);
2.A∪B =B∪A;
3.A∪A=A,A∪=A;
4.若A∪B=ABA;同理A∪B=BAB.
例1．若A={1,2,3},且B={3,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5}.
例2．设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},求A∪B.
解析：A∪B={x|-1<x<3},可以用数轴表示更直接.
（三）交集
一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的交集（intersection set）
记作A∩B（读作：“A交B”）.
表示为A∩B={ x|xA,且xB },也可以用Venn图表示.
（四）交集性质
1.(A∩B)A,(A∩B)B;
2.A∩B=B∩A;
3.A∩B=BBA,同理,A∩B=AAB;
4.A∩A=A, A∩=.
例3．若A={1,2,3} 且B={3,4,5},则 A∩B={3}.
例4．设平面内直线上点的集合为,直线上点的集合为,试用集合的运算表示和l2的位置关系.
解析：平面内两条直线的位置关系有三种：相交、平行和重合.
和相交和有且只有一个交点,则∩={P},其中P 是交点;
和平行和没有交点,则∩=;
和重合和有无数个交点,则∩= = .
（五）全集
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集（universe set）,
通常记作U.
例5．设U={xR|}={}
A={xQ|}={}
解析：除了集合U和A外,还有集合B={},
可以得到AU, BU, A∪B=U, A∩B=.
A中的元素属于U,但是不属于B;同理, B中的元素属于U,不属于A.
（六）补集
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集.
记作即={x|xU,且xA}.
补集也是一个集合,且U,是集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合,∩A=.
（七）补集的性质
1.A∪（）=U;
2.A∩（）=;
3.=A.
例6．设U={x|x是小于9的正整数},A ={1,2,3},B={3,4,5,6};求和.
解析：根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, ={4,5,6,7,8},={1,2,7,8},也可以用维恩图表示.
例7．已知U={1,2,3,4,5,6,7}, A ={2,4,5},B={1,3,5,7},求A∩(), ()∩().
解析：={2,4,6}, ={1,3,6,7},A∩()={2,4},()∩()={6}.
（八）集合的分类
集合按元素个数是否一一可数可分为两类,有限集和无限集,把含有有限个元素的集合叫做有限集(finite set),把含有无限个元素的集合叫做无限集(infinite set),card（A）用来表示有限集合中元素的个数,它叫做基数（cardinal）,规定card()=0.
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